Définition :
Une fraction rationnelle \(F\) à coefficients dans \({\Bbb K}\) est un quotient \(\frac PQ\) de deux polynômes \(P,Q\in{\Bbb K[X]}\) tq \(Q\neq0\)
(Polynôme)
Définition :
Une fraction rationnelle est un quotient $$F(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$$ avec \(P\) et \(Q\) sont des polynômes à coefficients dans un corps scalaire \({\Bbb K}\)
On appelle pôles de \(F\) une racines de \(Q\)
(Polynôme)
Ensembles
On note \({\Bbb K}(X)\) l'ensemble des fractions rationnelles à coefficient dans \({\Bbb K}\)
(Ensemble K)
Opérations
Multiplication par un scalaire
Multiplication d'une fraction rationnelle par un scalaire : $${{\lambda F}}={{\frac{\lambda P}{Q} }}$$
Produit de fractions rationnelles
Produit de fractions rationnelles : $${{F_1F_2}}={{\frac{P_1P_2}{Q_1Q_2} }}$$
Une fraction rationnelle \(F=\frac AB\) est dite sous forme réduite lorsque \(A\) et \(B\) n'ont pas de facteurs irréductibles en commun
(Polynôme irréductible)
Elément simple
Dans les complexes
Les éléments simples de \({\Bbb C}(X)\) sont forcément des éléments de première espèce
(Elément de première espèce)
Définition :
Le degré d'une fraction rationnelle \(F=\frac PQ\) est défini par : $$\deg(F)={{\deg(P)-\deg(Q)}}$$
(Polynôme (Degré))
Partie entière
Proposition :
Pour toute fraction \(F=\frac AB\), il existe un unique couple \((E,A_1)\in{\Bbb K[X]}^2\) tq : $$F={{E+\frac{A_1}B}}\quad\text{ et }\quad{{\deg(A_1)\lt\deg(B)}}$$
le polynôme \(E\) est appelé l#a partie entière de \(F\)
(Degré, //Division euclidienne)
Démonstration :
